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主要內容

[资料库] 数学教育示例--「首 n 个自然数之和、平方和及立方和」

数学教育示例--「首 n 个自然数之和、平方和及立方和」

 

课程简介:

数学是一种思考方式,也是一种智力活动。它既可作为一种沟通的有效途径,也可作为一种学习其他学科的工具。具数学潜质的资优学生未必能满足于一般的数学学习模式和内容。他们需要更具弹性的思考空间和更多变化的考验,以发挥他们过人的才华。另一方面他们又需要更多人际交往的培育,以促进其个人成长。一些富挑战性的数学活动,往往能让这些资优学生运用他们的知识及思考能力去探究及发现问题,培育与发挥他们的高层次思维技巧。教师考虑到这些资优学生的学习需要,于是设计了这个名为「首n个自然数之和、平方和及立方和」的抽离式(数学教育)增益课程。教师因应初中学生对排列和规律的浓厚兴趣,在第三学习阶段(中一至中三)的「观察规律及表达通则」课题内,引导学生综合运用规律、通则和代数关系式等概念,从协作解难的过程中推敲出「首n个自然数之和」的公式、「首 n 个自然数之平方和」的公式和「首 n 个自然数之立方和」的公式及其应用,从而领悟较高层次的数学知识。以上三题公式是第四学习阶段课程的学习范围,是等差数列和等比数列及其求和法的一些例子,而"å "符号的应用一般会在附加数学课程教授。本课程不但提供机会让具数学潜质的资优学生建构出新知识,并可满足他们对数学解难的渴求,提升这些学生的思考、推理、探索能力;同时在协作的过程中,亦能培养出学生包容和接纳别人的态度。

对象:中一至中三年级具数学潜质的资优学生

目标:

  1. 让学生用猜测、验证和归纳等方法,找出首 n 个自然数之和、平方和及立方和的公式。
  2. 学生运用已掌握的知识(即首 n 个自然数之和、平方和及立方和的公式)去解决问题。
  3. 提升学生的高层次思维技巧,并提供机会让学生自创一些具启发性的题目。
  4. 鼓励学生利用数学思考方法去解决日常生活中遇到的难题。
  5. 培养学生包容和接纳的态度。

学与教过程:

  1. 教师由浅入深将课程分成三个相联系但程度渐进的课节。内容包括「首 n 个自然数之和」、「首 n 个自然数之平方和及立方和」与「延伸课程」。
  2. 以一道难题 u打开我的储物柜」来引发学生的学习动机,再引导学生自行从规律中归纳出「首n个自然数之和」的公式:1 + 2 + 3 + … + n 1/2*n(n+1),并利用小组协作的模式,要求学生想出一些策略去解答由「首 n 个自然数之和」公式变化出来的题目 [(例如:若x = 1 + 2 + 3 + … + (n - 1),求 x)],然后向全班汇报。
  3. 学生对以上公式的应用有一定的掌握后,教师再给他们一些具挑战性的难题,包括策略思考、数学上的应用及日常生活的应用(例如:边数为 n 之凸多边形对角线数目1/2*n(n-3)),让他们有更多思考、求变及创新的空间,增强他们的数学思考能力及解题能力。
  4. 以小组讨论方式,让学生从自创的题目中推选出优异作品,再由获选作品的创作者向全班介绍其作品的构思,以作表扬。
  5. 由对正方形数的思考开始,教师引导学生学习「首n个自然数之平方和」的公式:1^2+2^2+...+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1)。然后以小组协作模式,让学生应用此公式去解决问题,包括求证圆锥体体积的公式(圆锥体体积1/3*pi^2*h)。
  6. 以一些有规律的题目引导学生观察及思考,从而发现当中的规律{例如:13 + 23 + 33 = 62 ,而 1 + 2 + 3 = 6;因此,可能 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2},并让学生运用其较强的逻辑推理能力推敲出「首 n 个自然数之立方和」的公式:1^3+2^3+...+n^3= (1+2+...+n)^2=(1/2*n(n+1))^2
  7. 教师向学生引进一种新的数学表达方式 -- "å",如:1+2+3+...+10= 求总和 r, r 由1 到10,让他们透过练习使用 "å" 符号,从而发现使用 "å" 符号的好处。之后教师让学生再次以小组协作方式用另一个方法去导出「首n个自然数之平方和」公式。
  8. 学生进行小组讨论,分享自己如何导出活动 (4) 及 (6) 所要求的「首 n 个自然数之平方和」公式。
  9. 最后教师以一项名为「挑战难度的考验」活动,激发学生的成就动机,让他们尝试解开「金字塔内所有数字总和」的难题。学生需要细心观察,才能找出当中数字分布的规律(例如:数字的分布为左右对称);更需要精密的思考技巧才能想出解开难题的策略(例如:1 可写成 12 × 1= 13,2+4+2 可写成 22 × 2 = 23),之后便求得「金字塔内所有数字总和」的算式。学生运用简化方法,最后会发现这是导出「首n个自然数之立方和」公式的另一个方法。

学习成效:

  1. 在整个学与教的过程中,教师对思考过程、解难方法与寻找问题的答案同样重视。活动特色在于让学生积极参与,诱发学生自学协作的精神,使学生乐于尝试,勇于面对挑战,并敢于创新,在不同的数学思考活动中乐而忘返,并在教师由浅入深的引导下自行推敲出以下三个公式:

    「首 n 个自然数之和」公式:1 + 2 + 3 + … + n1/2*n(n+1)

    「首 n 个自然数之平方和」公式:1^2+2^2+...+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1)与及

    「首 n 个自然数之立方和」公式:1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2=(1/2*n(n+1))^2,并将之应用到日常生活中和数学方面,以解开不同难度的数学题目,包括「打开我的储物柜」和「金字塔内所有数字的总和」。

  2. 该课程的学习成效较为显着。课程扩阔了具数学潜质的资优学生的视野和思考空间,使他们能跨越第三学习阶段的课程,展现自己在数学方面的才华。由学生创作的数学难题及其破解方法的深度及难度反映出学生对这个课程的数学活动具浓厚兴趣。学生的习作不但富创造力,而且能提出多种不同的解决方法,还能灵活运用 "å" 符号来精简运算表达,显示他们能将数学知识「内化」和「转移」,学生对数学的认知能力和高层次思维得以大大提升。另外,学生经常要协作学习及进行小组讨论,并要将自己解决问题的方法向全班汇报,透过这些互相观摩的活动,擦出不少火花,引进了不少新的数学思维,激发起他们精益求精的积极学习态度,努力创作出难度更高的题目来考验同侪,发挥自己的数学才华。除此之外,他们也从中学会表达自己,细心聆听,欣赏和接纳别人等沟通技巧,增强个人及社交能力,促进个人成长。